广义二项式定理

(资料图片仅供参考)

其中，n为正整数，组合数

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事实上牛顿还将二项式定理推广到了幂为一般实数的情形，即

​其中，α可以取任意实数，而​可以看作组合数向一般实数的推广，当k=0时，​ 这种幂为一般实数的二项式定理也叫广义二项式定理，它将二项式展开成了无穷级数，通常取前面有限的一部分项求和结果就很接近真实值。 广义二项式定理的一个重要应用就是计算一个数的指数函数值(开方就是特例)，现在以求2的平方根为例来说明。​而2的平方根准确值为1.414…，可见用二项展开式前7项的值估算可以精确到小数点后第二位。此外，广义二项式定理还可以用于求一般实数次幂函数的导数和积分、证明不等式(如贝努利不等式)。

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